Boris Wladimirowitsch Gnedenko; Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie; Akademie Verlag 1991; ISBN 3-05-501270-4 .

Einleitung

1. Zufällige Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeiten.

1.1 Intuitive Vorstellungen über zufällige Ereignisse.

1.2 Ereignisalgebra. Die klassische Wahrscheinlichkeitsdefinition.

1.3 Beispiele.

1.4 Geometrische Wahrscheinlichkeiten.

1.5 Statistische Schätzung unbekannter Wahrscheinlichkeiten.

1.6 Axiomatischer Aufbau der Wahrscheinlichkeitstheorie.

1.7 Die bedingte Wahrscheinlichkeit und einige einfache wichtige Formeln.

1.8 Beispiele.

Übungen.

2. Eine Folge unabhängiger Versuche.

2.1 Einführende Bemerkungen.

2.2 Der lokale Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace.

2.3 Der Integralgrenzwertsatz von de Moivre-Laplace.

2.4 Anwendungen des Integralgrenzwertsatzes.

2.5 Der Satz von Poisson.

2.6 Illustration der Bernoulli-Versuche.

Übungen.

3. Markowsche Ketten.

3.1 Definition einer Markowschen Kette.

3.2 Die Übergangsmatrix.

3.3 Ein Satz über Grenzwahrscheinlichkeiten.

Übungen.

4. Zufallsgrößen und Verteilungsfunktionen.

4.1 Allgemeine Eigenschaften der Verteilungsfunktionen.

4.2 Stetige und diskrete Verteilungen.

4.3 Mehrdimensionale Verteilungsfunktionen.

4.4 Funktionen von Zufallsgrößen.

4.5 Das Stieltjes-Integral.

Übungen.

5. Zahlenmäßige Charakterisierung der Zufallsgrößen.

5.1 Der Erwartungswert.

5.2 Die Varianz.

5.3 Sätze über Erwartungswert und Varianz.

5.4 Momente.

Übungen.

6. Das Gesetz der großen Zahlen.

6.1 Massenerscheinungen und das Gesetz der großen Zahlen.

6.2 Das Gesetz der großen Zahlen in der Tschebyschewschen Form.

6.3 Eine notwendige und hinreichende Bedingung für das Gesetz der großen Zahlen.

6.4 Das starke Gesetz der großen Zahlen.

6.5 Der Satz von Gliwenko.

Übungen.

7. Charakteristische Funktionen.

7.1 Definition und einfachste Eigenschaften der charakteristischen Funktionen.

7.2 Umkehrformeln und Eindeutigkeitssatz.

7.3 Die Sätze von Helly.

7.4 Grenzwertsätze für charakteristische Funktionen.

7.5 Positiv definite Funktionen.

7.6 Charakteristische Funktionen von Zufallsvektoren.

7.7 Laplace-Stieltjes-Transformationen.

Übungen.

8. Der zentrale Grenzwertsatz.

8.1 Aufgabenstellung.

8.2 Der Satz von Lindeberg.

8.3 Lokale Grenzwertsätze.

Übungen.

9. Die Theorie der unbeschränkt teilbaren Verteilungen.

9.1 Unbeschränkt teilbare Verteilungen und ihre Haupteigenschaften.

9.2 Kanonische Darstellung der unbeschränkt teilbaren Verteilungen.

9.3 Ein Grenzwertsatz für unbeschränkt teilbare Verteilungen.

9.4 Aufgabenstellung für die Grenzwertsätze für Summen.

9.5 Grenzwertsätze für Summen.

9.6 Bedingungen für die Konvergenz gegen die Normal- und die Poisson-Verteilung.

9.7 Summation einer zufälligen Anzahl von unabhängigen Zufallsgrößen.

Übungen.

10. Die Theorie der Stochastischen Prozesse.

10.1 Einleitende Bemerkungen.

10.2 Der Poisson-Prozess.

10.3 Geburts- und Todesprozesse.

10.4 Bedingte Verteilungsfunktionen und Bayessche Formel.

10.5 Die verallgemeinerte Markowsche Gleichung.

10.6 Stetige zufällige Prozesse und die Kolmogorowschen Gleichungen.

10.7 Der rein unstetige Prozeß. Die Kolmogorow-Fellerschen Gleichungen.

10.8 Homogene zufällige Prozesse mit unabhängigem Zuwachs.

10.9 Der Begriff des stationären zufälligen Prozesses. Der Satz von Chintschin über die Korrelationsfunktion.

10.10 Das stochastische Integral. Spektralzerlegung der stationären Prozesse.

10.11 Der Ergodensatz von Birkhoff-Chintschin.

11. Elemente der Statistik.

11.1 Hauptaufgaben der mathematischen Statistik.

11.2 Eine klassische Methode zur Schätzung der Parameter einer Wahrscheinlichkeitsverteilung.

11.3 Erschöpfende Statistiken.

11.4 Vertrauensgrenzen und Vertrauenswahrscheinlichkeiten.

11.5 Prüfung statistischer Hypothesen.

Anhang

Positiv definite Verteilungsdichten (Autor: Hans-Joachim Roßberg)

A.1 Einleitung.

A.2 Symmetrische Verteilungen.

A.3 Grundtatsachen über positiv definite Dichten.

A.4 Die Paarbildung. Erste Beispiele.

A.5 Die Parsevalsche Gleichung und Kriterien für positiv definite Dichten.

A.6 Das Therem von Marcinkiewicz.

A.7 Erste Fortsetzungsprobleme und Eindeutigkeitsfragen.

A.8 Adjungierte Fortsetzungsprobleme.

A.9 Die Nähe von Verteilungsfunktionen.

A.10 Unschärferelationen.

A.11 Das Wiener-Chintschin-Kriterium und die Heisenbergsche Unschärferelation.

A.12 Adjungierte und konjugierte stationäre stochastische Prozesse.

A.13 Der zentrale Grenzwertsatz.

A.14 Andere Verallgemeinerungen selbstadjungierter Dichten: Re- und Im-Dichten.

Zur Geschichte der Wahrscheinlichkeitstheorie.

1. Die Begriffe Wahrscheinlichkeit und zufälliges Ereignis.

1.1 Erste Quellen.

1.2 Die Untersuchungen Cardanos und Tartaglias.

1.3 Die Forschungen Galileo Galileis.

1.4 Der Beitrag B. Pascals und P. Fermats zur Entwicklung der Wahrscheinlichkeitstheorie.

1.5 Die Beiträge von Huygens.

1.6 Über die ersten Untersuchungen zur Demographie.

2. Die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie.

2.1 Die Entstehung des klassischen Begriffs der Wahrscheinlichkeit.

2.2 Über die Herausbildung des Begriffs der geometrischen Wahrscheinlichkeit.

2.3 Grundlegende Sätze der Wahrscheinlichkeitstheorie.

2.4 Die Aufgabe über den Ruin eines Spielers.

2.5 Die Entstehung von Grenzwertsätzen der Wahrscheinlichkeitstheorie.

2.6 Statistische Qualitätskontrolle.

3. Der Begriff der Zufallsgröße.

3.1 Die Entwicklung der Fehlerrechnung.

3.2 Die Entstehung des Begriffs der Zufallsgröße.

3.3 Das Gesetz der großen Zahlen.

3.4 Der zentrale Grenzwertsatz.

3.5 Allgemeine Grenzverteilung für Summen.

3.6 Das Gesetz des iterierten Logarithmus.

3.7 Die Entstehung der Begriffe Erwartungswert und Varianz.

4. Die Theorie der zufälligen Prozesse.

Wertetabellen einiger in der Wahrscheinlichkeitstheorie auftretender Funktionen.

Der Klassiker schlechthin zu diesem Thema! Das erste Exemplar in Deutscher Sprache (im Be-

sitz des Rezensenten) erschien 1968, und damals schon in 5. Auflage. Die Ausgabe von 1991,

die dieser Besprechung zugrundeliegt, stützt sich auf die achte deutsche Ausgabe, wie der He-

rausgeber H.-J. Rossberg bemerkt. Zur Zeit ist der Titel als Paperback erhältlich unter

Boris Wladimirowitsch Gnedenko; Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie; Harri Deutsch;

ISBN 3-8171-1531-8 .

Es ist überaus bemerkenswert, mit welch großem didaktischen Geschick der Autor den Stoff

in einer Breite darstellt, die man kaum für möglich hält. Dabei setzt er einen gewissen Schwer-

punkt bei den Grenzwertsätzen. Dies ist jedoch für ein tieferes Verständnis der inneren Zusam-

menhänge der Theorie überaus zweckmäßig. Denn intuitiv verbindet man ja mit dem Begriff der

Wahrscheinlichkeit ein mehr oder weniger wahrscheinliches Ereignis irgendeines Experimentes,

des Werfens einer Münze, eines Urnenexperimentes etc. Damit wäre jedoch eine rein mathe-

matische Größe durch den Ausgang eines physikalischen Sachverhaltes bestimmt.

Genau diesem Zusammenhang spürten auch die Wahrscheinlichkeitstheoretiker und Statistiker

anfänglich nach (Buffon warf eine Münze 4040 mal, K. Pearson 12000 mal). Erst die Kolmo-

gorowsche Axiomatik räumte mit diesen Vorstellungen auf. Daß man dadurch nicht gänzlich

von realen Vorgängen, und damit den wertvollsten und wichtigsten Anwendungen abgeschnit-

ten ist, zeigen gerade die wichtigen, sog. 'Gesetze der großen Zahlen', von Bernoulli, Poisson,

Chintschin und E. Borel. Genau durch diese Sätze gewinnt man sozusagen im Nachhinein wieder

den Anschluß an die ursprünglichen, intuitiven Vorstellungen von Wahrscheinlichkeit. Dies stellt

der Autor in einzigartiger Weise dar.

Überdies führt der Autor den Leser früh an die Vielfältigkeit zufälliger Erscheinungen heran, und

dies keinesfalls nur in den Aufgaben. Z.B. können nicht nur Ereignisse zufällig sein, sondern auch

Veränderungen, was notwendigerweise auf den wichtigen Begriff des Zufallsprozesses hinführt.

Ein eigenes Kapitel, das später im Text folgt, führt in dieses interessante und reizvolle Gebiet ein.

Gegenüber früheren Auflagen hat der Autor ein Kapitel über die wahrscheinlichkeitstheoretischen

Grundlagen der Statistik eingefügt. Hier werden zum Beispiel die für die Schätztheorie so wich-

tigen Begriffe Konsistenz und Suffizienz eingeführt.

Das Buch ist in weiten Teilen zum entspannten Lesen geeignet, enthält aber auch Abschnitte,

die konzentriertes Durcharbeiten erfordern. Die Beispiele, die zur Erläuterung des Textes in

manchen Kapiteln eingefügt sind, sind didaktisch klug ausgewählt und sehr lehrreich. Die am

Ende jedes Kapitels befindlichen Aufgaben führen die Theorie oft, wie heute in den meisten

Lehrbüchern üblich, fort und entwickeln sie weiter.

Der Text ist locker, und gelegentlich mit erhellenden Anekdoten gewürzt. Am Schluß bringt

der Autor einen kurzen Abriß der Geschichte der Wahrscheinlichkeitstheorie, dessen Lek-

türe anzuempfehlen ist, wie auch das ganze Buch überaus lesenswert ist.

Das Buch kann heute noch als Grundlage einer einführenden Vorlesung benutzt werden. Es ist

somit in erster Linie für Studenten der Mathematik, aber auch der Physik bestens zur Lektüre

geeignet.

1. B. W. Gnedenko, A. W. Chintschin; Elementare Einführung in die Wahrscheinlichkeits-

rechnung; VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften 1973.

(Quasi ein Auszug aus dem obigen Titel, für Schüler gedacht. Als Lehrbuch jedoch weniger geeignet)

2. A. Rényi; Wahrscheinlichkeitsrechnung, mit einem Anhang über Informationstheorie;

VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften 1979.

(Sehr ausführlich, nahezu ohne Benutzung der Maßtheorie. Mit vielen, interessanten Aufgaben)