Titel Februar 2005
Titel:
Y. A. Rozanov; Probability Theory: A Concise Course; Dover; ISBN 0-486-63544-9.
Inhalt:
1 Basic Concepts.
1. Probability and Relative Frequency.
2. Rudiments of Combinatorial Analysis.
Problems.
2 Combination of Events.
3. Elementary Events. The Sample Space.
4. The Addition Law for Probabilities.
Problems.
3 Dependent Events.
5. Conditional Probability.
6. Statistical Independence.
Problems.
4 Random Variables.
7. Discrete and Continuous Random Variables.
Distribution Functions.
8. Mathematical Expectation.
9. Chebyshev's Inequality. The Variance and Correlation
Coefficient.
Problems.
5 Three Important Probability Distributions.
10. Bernoulli Trials. The Binomial and Poisson Distributions.
11. The De Moivre-Laplace Theorem. The Normal Distribution.
Problems.
6 Some Limit Theorems.
12. The Law of Large Numbers.
13. Generating Functions. Weak Convergence of Probability
Distributions.
14. Characteristic Functions. The Central Limit Theorem.
Problems.
7 Markov Chains.
15. Transition Probabilities.
16. Persistent and Transient States.
17. Limiting Probabilities. Stationary Distributions.
Problems.
8 Continuous Markov Processes.
18. Definitions. The Sojourn Time.
19. The Kolmogorov Equations.
20. More on Limiting Probabilities. Erlangs Formula.
Problems.
Appendix 1 Information Theory.
Appendix 2 Game Theory.
Appendix 3 Branching Processes.
Appendix 4 Problems of Optimal Control.
Kurzreferenz:
In den ersten drei Kapiteln führt der Autor in die klassischen Begriffsbildungen der Wahrscheinlichkeit
ein, sowie die elementarsten Methoden zu ihrer Berechnung. Einen gewisses Highlight bildet dabei das
Lemma von Borel-Cantelli. Auch die folgenden beiden Kapitel sind noch weitgehend elementar, einzig
der Satz von Moivre-Laplace ragt in dieser Hinsicht etwas heraus. Dies gilt auch für die Chebyschev-
sche Ungleichung, deren Bedeutung aber erst in den folgenden Kapiteln klar wird.
So zum Beispiel in Kapitel 6, in dem einige Grenzwertsätze dargestellt werden. Am Anfang steht das
(schwache) Gesetz der großen Zahlen, dessen Beweis mithilfe der Chebyshev'schen Ungleichung nahe-
zu evident ist. Darüber hinaus werden noch die wichtigen Techniken der erzeugenden Funktion und
der charakteristischen Funktion dargestellt und letztere zum Beweis des zentralen Grenzwertsatzes he-
rangezogen.
Kapitel 7 und 8 dient schließlich dazu, die Grundzüge der Markovschen Prozesse darzustellen, und
weitere wichtige Anwendungen findet man in den Anhängen 1 bis 4.
Lesbarkeit:
Der ursprüngliche, 1968 in russisch erschienene Text wurde vom Übersetzer Richard A. Silverman
- selbst ausgewiesener Experte auf diesem Gebiet - wesentlich umgearbeiter und ergänzt. Zudem
wurden zu jedem Kapitel eine Reihe Aufgaben hinzugefügt, sowie am Ende des Buches ein Literatur-
verzeichnis angehängt.
Dieses Buch gehört zu den wenigen, die es schaffen, mit äußerst geringem Umfang, nämlich auf nicht
einmal 150 Seiten, relativ viel Stoff abzuhandeln. Insofern ist der Untertitel 'A concise Course' durch-
aus berechtigt. Wer schnell und konzentriert das wichtigste erlernen will, ist damit bestens beraten.
Silverman schreibt in seinem Vorwort darüber 'it manages to be both fast-moving and self-contained'.
Zielgruppe:
Studenten und Mathematiker, deren Spezialgebiet nicht die Wahrscheinlichkeitstheorie ist.
Weitere Bücher zum Themenkreis:
1. B. W. Gnedenko; Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie; Akademie Verlag 1991;
ISBN 3-05-501270-4 .
Absoluter Klassiker zu diesem Thema, aber weit ausführlicher!
2. M. Loève; Probability Theory I und II; Springer; ISBN 0-387-90210-4, bzw. ...-90262-7.
Umfangreiches Lehrbuch auf der Grundlage der Maß- und Integrationstheorie. Insofern nicht mit
dem oben besprochenen Titel vergleichbar. Jedoch sind die ersten 50 Seiten des Bandes I in Um-
fang und Stil der Darstellung ganz ähnlich wie jener.